圖形學系列-Ch7 Viewing-閲讀筆記

從3D空間到2D空間中的映射稱爲viewing transformation。本章將學習如何利用矩陣運算，將已知的3D空間物體映射（可能是平行投影，也可能是透視投影）到2D空間（像平面）中。

7.1 Viewing Transformations

viewing transformations是一系列操作的總稱，這些操作主要完成從3D空間的位置（笛卡爾坐標系下的 $(x, y, z)$ ）到圖像坐標（ $(u, v)$ ）的變換。這一系列操作通常可分爲三個變換：

camera transformation或eye transformation：用於調整相機位置和位姿；

projection transformation：根據投影類型，將物體從相機空間中映射到 $x \in [- 1, 1]$ 和 $y \in [- 1, 1]$ 的區間中，這個區間圖像稱爲unit image。

viewport transformation或windowing transformation：將unit image變換成所需的圖像尺寸。

camera transformation將點的空間坐標轉換到相機坐標系下，也稱爲相機空間；projection transformation將點從相機空間中變換到標準視圖躰中，也就是 $(x, y, z) \in [- 1, 1]^{3}$ 的立方體中；viewport transformation將標準視圖躰變換到屏幕空間，也就是最後成像。

7.1.1 The Viewport Transformation

假設所有希望看到的物體都在標準視圖躰( $(x, y, z) \in [- 1, 1]^{3}$ )内，相機觀察方向為 $- z$ ，正交于標準視圖躰。縣規定 $x = - 1$ 對應圖像左邊界， $x = + 1$ 對應圖像右邊界， $y = - 1$ 對應圖像下邊界， $y = + 1$ 對應圖像上邊界。假設圖像寬高為 $n_{x}$ 和 $n_{y}$ ，viewport transformation就是將平面 $[- 1, 1]^{2}$ 變換到矩形 $[- 0.5, n_{x} - 0.5] \times [- 0.5, n_{y} - 0.5]$ 中。

這裏忽略了 $z$ 軸坐標的原因是，點在空間中的投影距離，并不影響它在像平面中的位置。所以可得到viewport matrix。

\begin{matrix} (7.2) & M_{v p} = [\begin{matrix} \frac{n_{x}}{2} & 0 & 0 & \frac{n_{x} - 1}{2} \\ 0 & \frac{n_{y}}{2} & 0 & \frac{n_{y} - 1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

7.1.2 The Orthographic Projection Transformation

通常我們并不只希望獲取標準視圖體内的幾何體，而希望在觀察方向和角度固定（沿 $- z$ 且 $+ y$ 正立）情況下，能獲得任意矩形體内的幾何體。我們在viewport matrix右側再乘上一個矩陣來獲得所希望的結果，而不是去修改viewport matrix。

先定義任意矩形體為 $[l, r] \times [b, t] \times [f, n]$ ，如下圖所示：

通常稱這樣的矩形骵為``orthographic view volume``，其中：

注意，通常觀察方向都是沿著 $- z$ 方向，正立方向都是沿著 $+ y$ 軸，對於近平面 $n$ 的值就始終大於遠平面 $f$ 的值，即 $n > f$ 。如下圖所示：

現在只要將orthographic view volume變換到canonical view volume，之後在利用viewport matrix變換即可。

\begin{matrix} (7.3) & M_{o r t h} = [\begin{matrix} \frac{2}{r - l} & 0 & 0 & - \frac{r + l}{r - l} \\ 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & - \frac{t + b}{t - b} \\ 0 & 0 & - \frac{2}{n - f} & - \frac{n + f}{n - f} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

繪製orthographic view volume的3D綫段時，就可以結合矩陣(7.2)和矩陣(7.3)來獲取兩個端點在圖像中的位置坐標。

[\begin{matrix} x_{p i x e l} \\ y_{p i x e l} \\ z_{c a n o n i c a l} \\ 1 \end{matrix}] = (M_{v p} M_{o r t h}) [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}]

算法框架如下：

7.1.3 The Camera Transformation

在3D空間中，我們視點位置和觀察角度通常都是任意的，因此，常用以下三個量來定義視點：

“眼睛”的位置 $e$ ；

視綫方向 $g$ ;

正立方向 $t$

如下圖所示

有了這三個信息，就能夠在視點位置構造一個坐標系 $u v w$ ，也是用於描述相機空間的坐標系。

\begin{aligned} w & = - \frac{g}{| | g | |} \\ u & = \frac{t \times w}{| | t \times w | |} \\ v & = w \times u \end{aligned}

被觀察物體改用坐標系 $u v w$ 表示，這樣，只需要變換視點位置 $e$ 和基坐標 $u v w$ ，就能將視點和被觀察物體從世界坐標系 $o_{x y z}$ 變換到相機坐標系 $e_{u v w}$ 中。

坐標系閒的變換在第六章中做了詳細説明，這裏就不多説，直接上公式：

M_{c a m} = {[\begin{matrix} u & v & w & e \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]}^{- 1} = [\begin{matrix} x_{u} & y_{u} & z_{u} & 0 \\ x_{v} & y_{v} & z_{v} & 0 \\ x_{w} & y_{w} & z_{w} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - x_{e} \\ 0 & 1 & 0 & - y_{e} \\ 0 & 0 & 1 & - z_{e} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

結合前面的變換，整個viewing transformation的框架如下所示：

總結下，整個viewing transformation過程可以想像成拍照過程，先選好鏡頭和設置相片尺寸（viewport transformation）；擺放好相機和被拍攝物體（camera transformation）；按下快門（projection transformation）。

7.2 Projective Transformation

射影變換是在相機空間中進行的，通過camera transformation后，視點位置位於相機空間的原點，觀察方向沿著 $- z$ 軸。

在透視投影中，物體在像平面的尺寸，與物體離視點距離的倒數( $1 / z$ )成正比。如下圖：

figure7.8

圖中， $d$ 表示視平面離視點的距離， $y_{s}$ 表示物體在視平面上 $y$ 軸上的成像位置。利用相似三角形，很容易得到： $y_{s} = \frac{d}{z} y$

一般的仿射變換為： $x^{'} = a x + b y + c z + d$

這裏約束齊次坐標系最後一維 $w = 1$ ；若取消這個約束，那麽可以擴展出更多變換，變換形式變化成如下形式： $x^{'} = \frac{a x + b y + c z + d}{e x + f y + g z + h}$

這樣就可獲得關於 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 的三個變換函數：

\begin{aligned} x^{'} & = \frac{a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1}}{e x + f y + g z + h} \\ y^{'} & = \frac{a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2}}{e x + f y + g z + h} \\ z^{'} & = \frac{a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z + d_{3}}{e x + f y + g z + h} \end{aligned}

這三個變換函數的唯一約束就是分母是相同的。同樣也可使用矩陣形式表示：

[\begin{matrix} \tilde{x} \\ \tilde{y} \\ \tilde{z} \\ \tilde{w} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\ e & f & g & h \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}] \Rightarrow (x^{'}, y^{'}, z^{'}) = (\tilde{x} / \tilde{w}, \tilde{y} / \tilde{w}, \tilde{z} / \tilde{w})

可用這種形式表示的變換都可稱爲射影變換(projective transformation)或單應性。

7.3 Perspective Projection

假設，在3D空間中，視點位於原點，觀測方向沿 $- z$ 軸，可是距離由遠近平面限制。在透視變換中，將近平面作爲像平面，這樣可簡化推導。更簡單的理解是，先將物體透視投影到一個矩形體上，再利用正交投影進行後續操作。如下面兩圖所示：

這裏先回顧圖(7.8)，將圖中 $y_{s}$ 的計算用矩陣可表示爲：

[\begin{matrix} y_{s} \\ 1 \end{matrix}] \sim [\begin{matrix} d & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} y \\ z \\ 1 \end{matrix}]

類似的，在3D空間中， $x$ 和 $y$ 均可按上面的方式處理，得到變換矩陣：

P = [\begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

這個矩陣中的第1、2、4行已實現了透視方程，而第3行是與 $z$ 坐標有關，這行的計算值會在之後物體遮擋部分使用到（z-buffer算法）。那第3行的參數是什麽呢？這裏可做如下假設來獲取第3行的參數：

齊次坐標係中，坐標 $(x, y, z, 1)$ 和 $(k x, k y, k z, k)$ 是表示同一個點；

位於近平面上的點，經過投影后仍在近平面上；

位於遠平面上的點，經過投影后仍在遠平面上；

根據這以上的假設，可知：

\begin{matrix} (1) & P [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} n x \\ n y \\ ? \\ z \end{matrix}] \end{matrix}

對於近平面上的點變換前後始終是：

[\begin{matrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{matrix}] \Rightarrow [\begin{matrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} n x \\ n y \\ n^{2} \\ n \end{matrix}]

與公式(1)對比可知，第3行的計算方式如下：

\begin{matrix} (2) & [\begin{matrix} 0 & 0 & A & B \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{matrix}] = n^{2} \Rightarrow A n + B = n^{2} \end{matrix}

同理，對於遠平面可得： $\begin{matrix} (3) & A f + B = f^{2} \end{matrix}$

聯立等式(2)、(3)，求解方程組可得：

{\begin{cases} A n + B = n^{2} \\ A f + B = f^{2} \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} A = n + f \\ B = - n f \end{cases}

這樣，就能獲得完整的透視變換矩陣：

P = [\begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n + f & - n f \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

對於view volume中任一點進行透視變換可得：

P [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} n x \\ n y \\ (n + f) z - f n \\ z \end{matrix}] \sim [\begin{matrix} \frac{n x}{z} \\ \frac{n y}{z} \\ n + f - \frac{n f}{z} \\ 1 \end{matrix}]

而對於矩陣 $P$ 的逆變換同樣非常簡單：

P^{- 1} = [\begin{matrix} \frac{1}{n} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{n} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - \frac{1}{n f} & \frac{n + f}{n f} \end{matrix}] \Rightarrow P^{- 1} = [\begin{matrix} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & n f \\ 0 & 0 & - 1 & n + f \end{matrix}]

至此，將透視變換矩陣和之前的正交投影矩陣結合，就能得到完整的透視投影矩陣：

M_{p e r} = M_{o r t h} P = [\begin{matrix} \frac{2 n}{r - l} & 0 & \frac{l + r}{l - r} & 0 \\ 0 & \frac{2 n}{t - b} & \frac{t + b}{b - t} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{f + n}{n - f} & \frac{2 f n}{f - n} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

這樣使用透視投影變換的viewing transformation矩陣可變爲：

M = M_{v p} M_{o r t h} P M_{c a m}

算法框架為：

7.4 透視投影變換的一些特點

投影前後，直綫依然是直綫，平面依然是平面；以綫段爲例，假設原綫段為： $q + t (Q - q)$

經過變換矩陣 $M$ 后： $M q + t (M Q - M q) \equiv r + t (R - r)$

對於3D綫段可變爲：

\frac{r + t (R - r)}{w_{r} + t (w_{R} - w_{r})} \Rightarrow \frac{r}{w_{r}} + f (t) (\frac{R}{w_{R}} - \frac{r}{w_{r}})

其中， $f (t) = \frac{w_{R} t}{w_{r} + t (w_{R} - w_{r})}$ 。這一系列變換過程并未改變點的順序，所以從綫段依然變換爲綫段，平面依然變換爲平面。

7.5 Field-of-View

通常，我們會使用 $(l, r, b, t)$ 和 $n$ 來定義可視窗口，其中：

l = - r, b = - t

如果成像尺寸(像素)為 $n_{x} \times n_{y}$ ，那麽： $\frac{n_{x}}{n_{y}} = \frac{r}{t}$

這個比例可稱爲aspect ratio。如果按下圖中所示，在定義 $θ$ 角度，就能夠簡化可視窗口模型。

其中： $\begin{matrix} (4) & \tan \frac{θ}{2} = \frac{t}{| n |} \end{matrix}$

該 $θ$ 就稱爲field-of-view，等式(4)中定義了垂直方向的field-of-view，同理也可定義水平方向field-of-view。這樣就能將可視窗口模型簡化爲 $(n, θ_{x}, θ_{y}, r a t i o_{a s p e c t})$ 即可。

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聲明

該文檔是本人閲讀書籍《Fundamentals of Computer Graphics, Fourth_Edition》和學習課程《Games-101：现代计算机图形学入门》時整理的閲讀筆記，文檔中所有圖片主要來自本書截圖、Games-101課件截圖和網絡公開圖片。若發現錯誤，歡迎討論指正：uninitmatrix@gmail.com。

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